حل تمرین صفحه 95 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 95 - تمرین 1 این یک سؤال مفهومی بسیار مهم در مورد **قوانین ریشه دوم در اعداد حقیقی** است. ### پاسخ: چرا اعداد منفی جذر ندارند؟ **ریشه دوم (جذر)** یک عدد $A$، عددی است که اگر **در خودش ضرب شود**، حاصل $A$ شود. (مثلاً ریشه دوم ۲۵، عدد ۵ است چون $۵ \times ۵ = ۲۵$) حالا بیایید ببینیم آیا می‌توان عدد $-۲۵$ را از ضرب یک عدد در خودش به دست آورد: 1. **اگر عدد مورد نظر مثبت باشد (مانند $x$):** $$x \times x = \text{عدد مثبت}$$ (مثلاً $۵ \times ۵ = ۲۵$) 2. **اگر عدد مورد نظر منفی باشد (مانند $-x$):** $$(-x) \times (-x) = \text{عدد مثبت}$$ (مثلاً $(-۵) \times (-۵) = ۲۵$) **نتیجه‌گیری:** * در مجموعه **اعداد حقیقی** (اعدادی که تا این مرحله یاد گرفته‌اید)، حاصل ضرب هر عدد در خودش (یعنی مجذور یک عدد) **همیشه مثبت یا صفر** خواهد بود. * هیچ عدد حقیقی وجود ندارد که مجذور آن **منفی** شود. * بنابراین، عبارت $\mathbf{\sqrt{-۲۵}}$ (یا ریشه دوم هر عدد منفی دیگر) در مجموعه اعداد حقیقی **بی‌معنا** است. **نکته:** در ریاضیات پیشرفته‌تر (اعداد مختلط)، برای این اعداد ریشه تعریف می‌شود، اما در ریاضی هفتم، پاسخ این است که **جذر اعداد منفی تعریف نشده است**.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 95 - تمرین 3 برای قرار دادن این اعداد رادیکالی روی **محور اعداد**، ابتدا باید حاصل عددی دقیق یا تقریبی هر یک را محاسبه کنیم. ### ۱. محاسبه حاصل هر عدد 1. $$\sqrt{۹} = ۳$$ 2. $$-\sqrt{۹} = -۳$$ 3. $$\sqrt{۴} = ۲$$ 4. $$-\sqrt{۴} = -۲$$ 5. $$\sqrt{۱} = ۱$$ 6. $$-\sqrt{۱} = -۱$$ 7. $$\sqrt{\frac{۹}{۴}} = \frac{\sqrt{۹}}{\sqrt{۴}} = \frac{۳}{۲} = ۱/۵$$ 8. $$\sqrt{\frac{۱}{۴}} = \frac{\sqrt{۱}}{\sqrt{۴}} = \frac{۱}{۲} = ۰/۵$$ 9. $$-\sqrt{\frac{۱}{۴}} = -\frac{۱}{۲} = -۰/۵$$ ### ۲. قرار دادن روی محور اعداد حالا با توجه به مقادیر عددی، اعداد را به ترتیب روی محور قرار می‌دهیم: * **عدد ۳:** $\sqrt{۹}$ * **عدد ۲:** $\sqrt{۴}$ * **عدد ۱/۵:** $\sqrt{\frac{۹}{۴}}$ * **عدد ۱:** $\sqrt{۱}$ * **عدد ۰/۵:** $\sqrt{\frac{۱}{۴}}$ * **عدد ۰:** (جای خالی) * **عدد $-۰/۵$:** $-\sqrt{\frac{۱}{۴}}$ * **عدد $-۱$:** $-\sqrt{۱}$ * **عدد $-۲$:** $-\sqrt{۴}$ * **عدد $-۳$:** $-\sqrt{۹}$ | مکان روی محور | $-۳$ | $-۲$ | $-۱$ | $-۰/۵$ | $۰/۵$ | $۱$ | $۱/۵$ | $۲$ | $۳$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **عدد قرار داده شده** | $-\sqrt{۹}$ | $-\sqrt{۴}$ | $-\sqrt{۱}$ | $-\sqrt{\frac{۱}{۴}}$ | $\sqrt{\frac{۱}{۴}}$ | $\sqrt{۱}$ | $\sqrt{\frac{۹}{۴}}$ | $\sqrt{۴}$ | $\sqrt{۹}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 95 - تمرین 4 این تمرین به صورت خلاصه نکات کلیدی درس **ریشه دوم** و **توان** را مرور می‌کند. ### الف) $۷$ و $-۷$ ریشه‌های $\_\_\_\_\_\_\_$ هستند. ریشه دوم عدد صفر همان $\_\_\_\_\_\_\_\_$ است. * $۷$ و $-۷$ ریشه‌های دوم عدد $۷^۲ = ۴۹$ هستند. * $۰^۲ = ۰$ و $\sqrt{۰} = ۰$ * **پاسخ:** $۷$ و $-۷$ ریشه‌های $\mathbf{۴۹}$ هستند. ریشه دوم عدد صفر همان $\mathbf{۰}$ است. ### ب) مجذور عدد صفر همان $\_\_\_\_\_\_\_\_$ است. * **مجذور** یعنی توان ۲. مجذور صفر $۰^۲ = ۰$ است. * **پاسخ:** مجذور عدد صفر همان $\mathbf{۰}$ است. ### ج) اگر عددی صفر نباشد، توان دوم آن همیشه $\_\_\_\_\_\_\_\_$ است. * توان دوم یک عدد (چه مثبت و چه منفی) همیشه مثبت است. مثلاً $۳^۲ = ۹$ و $(-۳)^۲ = ۹$. * **پاسخ:** اگر عددی صفر نباشد، توان دوم آن همیشه $\mathbf{مثبت}$ است. ### د) هر عدد مثبت دارای $\_\_\_\_\_\_\_\_$ ریشه دوم است که یکی از آنها $\_\_\_\_\_\_\_\_$ دیگری است. * هر عدد مثبت مانند ۹، دو ریشه دوم دارد (۳ و $-۳$). * این دو ریشه قرینه یکدیگر هستند. * **پاسخ:** هر عدد مثبت دارای $\mathbf{دو}$ ریشه دوم است که یکی از آنها $\mathbf{قرینه}$ دیگری است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 95 - تمرین 5 در این تمرین، باید با استفاده از روش **یافتن مربع‌های کامل نزدیک**، مقدار تقریبی جذر چند عدد را به دست آوریم. ### ۱. مقدار تقریبی $\sqrt{۱۰۰۰}$ * **مربع‌های کامل نزدیک:** * $$۳۰^۲ = ۹۰۰$$ * $$۳۱^۲ = ۹۶۱$$ * $$۳۲^۲ = ۱۰۲۴$$ * **مکان:** $\sqrt{۱۰۰۰}$ بین ۳۱ و ۳۲ است. * **نزدیک‌تر به کدام؟** ۱۰۰۰ به ۱۰۲۴ نزدیک‌تر است (فاصله ۲۴) تا ۹۶۱ (فاصله ۳۹). پس به **۳۲** نزدیک‌تر است. * **حدس اعشاری:** $(۳۱/۶)^۲ \approx ۹۹۸/۵۶$ $$\mathbf{\sqrt{۱۰۰۰} \approx ۳۱/۶}$$ ### ۲. مقدار تقریبی $\sqrt{۵۰۰}$ * **مربع‌های کامل نزدیک:** * $$۲۲^۲ = ۴۸۴$$ * $$۲۳^۲ = ۵۲۹$$ * **مکان:** $\sqrt{۵۰۰}$ بین ۲۲ و ۲۳ است. * **نزدیک‌تر به کدام؟** ۵۰۰ به ۴۸۴ نزدیک‌تر است (فاصله ۱۶) تا ۵۲۹ (فاصله ۲۹). پس به **۲۲** نزدیک‌تر است. * **حدس اعشاری:** $(۲۲/۳)^۲ \approx ۴۹۷/۲۹$ و $(۲۲/۴)^۲ \approx ۵۰۱/۷۶$. $$\mathbf{\sqrt{۵۰۰} \approx ۲۲/۳}$$ ### ۳. مقدار تقریبی $\sqrt{۳۰}$ * **مربع‌های کامل نزدیک:** $۵^۲ = ۲۵$ و $۶^۲ = ۳۶$. * **مکان:** $\sqrt{۳۰}$ بین ۵ و ۶ است. * **نزدیک‌تر به کدام؟** ۳۰ به ۲۵ نزدیک‌تر است (فاصله ۵) تا ۳۶ (فاصله ۶). پس به **۵** نزدیک‌تر است. * **حدس اعشاری:** $(۵/۴)^۲ = ۲۹/۱۶$ و $(۵/۵)^۲ = ۳۰/۲۵$. $۵/۵$ نزدیک‌تر است. $$\mathbf{\sqrt{۳۰} \approx ۵/۵}$$ ### ۴. مقدار تقریبی $\sqrt{۴۰}$ * **مربع‌های کامل نزدیک:** $۶^۲ = ۳۶$ و $۷^۲ = ۴۹$. * **مکان:** $\sqrt{۴۰}$ بین ۶ و ۷ است. * **نزدیک‌تر به کدام؟** ۴۰ به ۳۶ نزدیک‌تر است (فاصله ۴) تا ۴۹ (فاصله ۹). پس به **۶** نزدیک‌تر است. * **حدس اعشاری:** $(۶/۳)^۲ = ۳۹/۶۹$. $$\mathbf{\sqrt{۴۰} \approx ۶/۳}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 95 - تمرین 6 برای پاسخ به این سؤال، باید تفاوت اساسی بین **توان** و **ضرب ساده** و **جمع** را بدانید. **تعریف توان:** عبارت توان‌دار $(\frac{۲}{۳})^۳$ یعنی پایه $(\frac{۲}{۳})$ باید **سه بار** در خودش **ضرب** شود. $$\left(\frac{۲}{۳}\right)^۳ = \frac{۲}{۳} \times \frac{۲}{۳} \times \frac{۲}{۳}$$ حالا گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم: * **$$\frac{۲}{۳} \times \frac{۲}{۳} \times \frac{۲}{۳}$$:** این عبارت، دقیقاً تعریف توان $(\frac{۲}{۳})^۳$ است. * **نتیجه:** **صحیح** * **$$\frac{۲+۲+۲}{۳}$$:** این عبارت برابر است با $\frac{۶}{۳} = ۲$. این حاصل، $(\frac{۲}{۳})^۳ = \frac{۸}{۲۷}$ نیست. * **نتیجه:** غلط * **$$\frac{۳ \times ۲}{۳}$$:** این عبارت برابر است با $\frac{۶}{۳} = ۲$. * **نتیجه:** غلط * **$$\frac{۲}{۳} \times ۳$$:** این عبارت نیز برابر است با $\frac{۶}{۳} = ۲$. * **نتیجه:** غلط * **$$\frac{۲}{۳} + \frac{۲}{۳} + \frac{۲}{۳}$$:** این عبارت یک **جمع تکراری** است که برابر با $\frac{۶}{۳} = ۲$ می‌شود. * **نتیجه:** غلط * **$$\frac{۲}{۳} + ۳$$:** این عبارت برابر با $\frac{۲}{۳} + \frac{۹}{۳} = \frac{۱۱}{۳}$ می‌شود. * **نتیجه:** غلط **تنها عبارت صحیح:** $\frac{۲}{۳} \times \frac{۲}{۳} \times \frac{۲}{۳}$